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二次函数最大值公式「建议收藏」

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  函数最值问题的常见题型分两种,一种是二次函数型,一种是和一定型。今天先来看看二次函数型。

  1.二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0),它是一个二次多项式(或单项式)。

  2.题型特征:常以经济利润的模型相结合的方式进行考察。

  ①直接给出函数表达式求最值。

  方法:y=ax²+bx+c 当x=-(b/2a)时,y 取得最值。

  例一:某商业银行的总利润 P 与贷款数量 Q 之间的函数关 系为:P=10000+400Q-Q2,当贷款数量为( )万元时,总利润最大。

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  A.100 B.150 C.200 D.250

  解析:

  (1)题目中直接给出了函数关系P=10000+400Q-Q2 ,整理可得P=-Q2+400Q+10000。

  (2)直接运用结论:当 Q=-b/2a→(-400)/(-1*2)=200 时,取得最大值,因此选择C选项。

  直接给出函数关系的最值问题,直接带入x=-(b/2a)时,y 取得最值这一结论即可。

「行测·数量」函数最值问题,二次函数型

  二次函数最值图

  ②此消彼长,薄利多销型

  这种题一般就是先给出一个方案,然后进行调整,常常会出现“每上升/下降....就多/少....”

  例如:每涨价x元——销量下降y个。 每降价x元——销量上升y个。

  方法:

  1.根据条件和所求列方程,写成两括号相乘的形式。

  2.求出使方程等于 0 时的两个根:x1、x2。

  3.求出两个的平均值(对称轴):当 x=(x1+x2)/2 时,此时乘积最大。

  例如:y =( 7 5 - x )*( 5 0 0 + 2 0 x ),使两个括号分别等于 0 ,即 7 5 - x = 0 → x1 = 7 5 , 500 + 20x = → x2 = -25。求平均值(对称轴) x=(75-25)/2=25。∴当x = 25时,y取最大值。

「行测·数量」函数最值问题,二次函数型

  中轴处y取最大值

  例二:某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 70 元,为了 合理定价,投放市场进行试销。据市场调查,销售单价是 120 元时,每天的销售 量是 100 件,而销售单价每降价 1 元,每天就可多售出 5 件,但要求销售单价不 得低于成本。则销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?

  A.100 元 B.102 元 C.105 元 D.108 元

  解析:

  (1)根据总利润=单个商品利润 * 销量,商品成本为70,原单价为120,原单利为120-70=50。

  (2)假设降价 x 次,即降价 x 元,利润为 50-x,销量为 100+5x,可列式 利润=(50-x)*(100+5x)。令 y=0,50-x=0→x1=50,100+5x=0→x2=-20,取中 x=(50-20)/2=15。

  (3)x解得=15,即降价 15 次,共降 15 元,因此现单价=120-15=105 元。所以这道题选择C选项。

  例三:某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫,每套成本是 144 元,售价是 200 元。一个经销商订购了 120 套这种汽车座垫,并提出:如果每套 座垫的售价每降低 2 元,就多订购 6 套。按经销商的要求,该加工厂获得最大利 润需售出的套数是:

  A.144 B.136 C.128 D.142

  解析:

  (1)根据题意成本为 144,售价为 200,利润为 200-144=56 元。

  (2)假设降价 x 次,则降价 2x 元,销量增加 6x 套。利润 y=单利*销量=(56-2x)(120+6x),令 y=0,56-2x=0→x1=56/2=28,120+6x=0→x2=-20,取中 x=(28-20)/2=4。

  (3)降价 4 次,销量增加 6*4=24 套,总销量=120+24=144 套。因此这道题选择A选项。

  ※如果大家刷题多了之后,这道题根据倍数特性可以直接秒杀选项。

  根据已知,销量=120+6x,即 销量-120 为 6 的倍数。因此,我们直接带入选项。

  代入 A 项, 144-120=24 是 6 的倍数;

  代入 B 项:136-120=16 不是 6 的倍数,C 项 128-120=8 不是 6 的倍数,D 项 142-120=22 不是 6 的倍数,只有 A 项满足。

  在真正的考试中,只需带入A满足即可不用再考虑后边的选项。